Trigonometri Formula

Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. 

Hubungan fungsi trigonometri

• Tan A = Sin A
                Cos A
• Cot A =        1       = Cos A
               Tan A Sin A
• Sec A =      1 
              Cos A
• Csc A =   _1 _
                sin A

 

 

 Sinus

Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.


Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
 

 

 

 

 

 

 

 

Cosinus

 

Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah


 
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tangen

 

Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai tangen adalah

 

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Sekan

Sekan (lambang: sec) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah


Hubungan sekan dengan kosinus:

  Cosekan

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah


Hubungan kosekan dengan sinus:

 

   Kotangen

Cotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah


Hubungan kotangen dengan tangen:

 
 Identitas Trigonometri Dan Sudut yang Berelasi







Aturan Sinus



Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
• Sin A = Sin B = Sin C 
      a           b           c
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
   a    =    b   =   c   = d 
Sin A    Sin B Sin C


Dapat ditunjukkan bahwa:
d =               abc               =                    2abc                           
       2√s (s - a)(s - b)(s - c) √(a2 +b2 + c2)2 + 2 (a4+ b4 + c4)
 

di mana s merupakan semi-perimeter
s = (a + b + c)
              2
 Aturan Cosinus



Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut.

 Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 

 Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β 

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β  

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus trigonometri untuk sudut rangkap (2a).

1. Rumus untuk sin 2α
Anda telah mengetahui bahwa sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Untuk β = α, diperoleh
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi,  sin 2α = 2 sin α cos α 

cos 2A = cos2 A – sin2 A
cos 2A = 2 cos2 A – 1
cos 2A = 1 – 2 sin2 A

 

 

 Rumus trigonometri sudut pertengahan (1/2 a).



Rumus trigonometri perkalian sinus dan cosinus.
2 Sin a Cos b = Sin (a+b) + Sin (a-b)
2 Cos a Sin b = Sin (a+b) – Sin (a-b)
2 Cos a Cos b = Cos (a+b) + Cos (a-b)
2 Sin a Sin b = – { Cos (a+b) – Cos (a-b) }

Rumus jumlah dan selisih trigonometri.

 

                       2 sin (α+β)

tan α + tan β =  -----------------------

                  cos (α+β) + cos (α−β)

                        2 sin (α-β)

tan α - tan β =  -----------------------

                  cos (α+β) + cos (α-β)

Other Formula